Quando mio figlio era piccolo, ci trovammo un giorno a dover dividere un dolcetto in tre parti: una per mamma, una per papà, una per lui. "Papà - mi disse, - lo divido io!". " Bene, -  risposi conoscendo la sua indole monella - tu lo dividi e io scelgo la parte". Lui ci pensò un attimo, poi esclamò: "Ma così dovrò dividerlo in parti uguali"!
 

L'aneddoto fa venire in mente il tema delle divisioni dell'unità in parti uguali e quindi il concetto di frazione.
Immaginiamo di voler dividere una torta in 3 o 4 parti uguali.

Concettualmente è molto semplice.
Se però traduciamo l'idea in un calcolo matematico, dovremmo dividere l'unità per tre o per quattro effettuando l'operazione aritmetica della divisione:
1/3 avrà come risultato 0,33333... con la cifra 3 che si ripete all'infinito, mentre con 1/4 otterremo 0,25.

Quest'ultimo risultato riusciamo a comprenderlo facilmente: si tratta di un numero finito che rappresenta in modo inequivocabile la quarta parte dell'unità.
Ma 0,33333... ?

Quei 3 che si ripetono all'infinito in qualche modo ci disturbano.
Un terzo di torta è una bella fetta che sta lì, finita e delimitata nello spazio.
Che senso hanno allora quelle cifre decimali che si replicano senza fine?
Forse è proprio il concetto di infinito che il nostro cervello non comprende.

E se disgraziatamente (si fa per dire) siamo in 13 a tavola (bando alle superstizioni) e la torta viene divisa in 13 parti uguali?

Sempre ammesso (e non concesso) che riusciamo a farlo, ogni fetta sarà pari a 0,076923 076923 076923... . 

Ma scherziamo?

Guardo la mia fetta nel piatto, nettamente separata dalle altre...
e la matematica mi dice che nell'infinitamente piccolo c'è sempre una parte di torta pari a ...076923,
più piccola degli atomi, dei protoni e perfino dei quark!

É come se le cifre fossero un suono, un accordo di note, un'onda che si va smorzando all'infinito senza mai cessare. 

A me sa quasi di poesia, o meglio, di musica!

Ogni periodo è un accordo diverso, univoco, che va scemando come le note di un pianoforte, di una chitarra o di un violino.

OK, ora ci mettiamo pure l'orchestra!

Sì, però... quel 0,33333... per me è un fischio acuto di sottofondo che mi disturba.

Che cosa succede se provo a calcolare 1/3 usando un sistema numerico NON decimale?

Con un ghigno maligno calcolo 1/3 con un sistema a base 4 invece che a base 10:

Poi eseguo la divisione:

(1/3)₄ =    1     | 3      
                10    0,11...
                  10
                    ...
Il quoziente è periodico, il fischio c'è ancora!.

Cambio base e provo a base 3.

BASE 10    BASE 3

Eseguo la divisione:

(1/10)₃ =    1     | 10    
                10      0,1
                  10
                  //

Il quoziente è 0,1 ?!!!

Niente cifre periodiche???

Che silenzio!